پاسخ کاردرکلاس صفحه32 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 32 ریاضی دهم سلام دانش‌آموزان کوشا! این کار در کلاس یکی از **مهم‌ترین** بخش‌های درس مثلثات است. هدف این است که شما مقادیر نسبت‌های مثلثاتی سه زاویه‌ی خاص ($30^\circ$، $45^\circ$ و $60^\circ$) را به صورت دقیق یاد بگیرید. برای پیدا کردن این مقادیر، از دو نوع مثلث قائم‌الزاویه استاندارد استفاده می‌کنیم: ### **۱. پیدا کردن نسبت‌های $45^\circ$ (مثلث قائم‌الزاویه‌ی متساوی‌الساقین)** زاویه‌های حادّه در این مثلث هر دو $45^\circ$ هستند. اگر طول ساق‌ها را $a$ در نظر بگیریم، طول وتر (با استفاده از قضیه‌ی فیثاغورس) برابر است با: $$\text{وتر} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ حالا برای زاویه‌ی $A = 45^\circ$، داریم: * **ضلع مقابل:** $a$ * **ضلع مجاور:** $a$ * **وتر:** $a\sqrt{2}$ * $\sin 45^\circ = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ * **گویا کردن مخرج:** $$\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ (این مقدار از قبل در جدول وارد شده است.) * $\cos 45^\circ = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (این مقدار نیز از قبل در جدول وارد شده است.) --- ### **۲. پیدا کردن نسبت‌های $30^\circ$ و $60^\circ$ (مثلث قائم‌الزاویه‌ی $30-60-90$)** این مثلث از **نصف کردن یک مثلث متساوی‌الاضلاع** به وجود می‌آید. اگر طول ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع $2a$ باشد، اضلاع مثلث قائم‌الزاویه‌ی جدید عبارتند از: * **وتر** (همان ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع): $2a$ * **ضلع مقابل به $30^\circ$** (نصف ضلع پایینی): $a$ * **ضلع مقابل به $60^\circ$** (ارتفاع مثلث، با فیثاغورس): $\sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ #### **محاسبات برای $A = 30^\circ$** * **ضلع مقابل:** $a$ * **ضلع مجاور:** $a\sqrt{3}$ * **وتر:** $2a$ 1. **سینوس ($30^\circ$):** $$\sin 30^\circ = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{a}{2a} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ 2. **کسینوس ($30^\circ$):** $$\cos 30^\circ = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ #### **محاسبات برای $A = 60^\circ$** * **ضلع مقابل:** $a\sqrt{3}$ * **ضلع مجاور:** $a$ * **وتر:** $2a$ 1. **سینوس ($60^\circ$):** $$\sin 60^\circ = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ 2. **کسینوس ($60^\circ$):** $$\cos 60^\circ = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}} = \frac{a}{2a} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ --- ### **تکمیل جدول** حالا مقادیر به دست آمده را در جدول وارد می‌کنیم. مقادیر تانژانت و کتانژانت نیز از نسبت $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ و $\cot A = \frac{1}{\tan A}$ به دست می‌آیند و تکمیل شده‌اند. | مقدار | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\sin A$ | $\mathbf{\frac{1}{2}}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ | | $\cos A$ | $\mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\mathbf{\frac{1}{2}}$ | | $\tan A$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | | $\cot A$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |